lunes, 8 de noviembre de 2010
domingo, 7 de noviembre de 2010
OPTIMIZACIÓN 1 Y 2
OPTIZACION 1
En general, la optimización es empleada para que una tarea se realice más rápidamente. Pero este no siempre es el caso; por ejemplo, en determinados casos lo más importante es que se consuma menos memoria, por lo tanto, se deben crear programas más lentos, pero que estén optimizados con respecto la memoria.
La optimización se hace siempre con respecto a uno o más recursos como ser: tiempo de ejecución, uso de memoria, espacio en disco, ancho de banda, consumo de energía, etc. Muchas veces la optimización de un recurso se hace a expensas de otros recursos.
EJEMPLOS
1-A una empresa que cuenta con un taller de reparación para la maquinaria que utiliza se le presenta el problema de determinar el número de obreros que constituye la plantilla óptima del taller.
Para ello, se estudian las condiciones de trabajo y el coste de mantenimiento, obteniéndose los siguientes datos:
I. La reparación de una máquina requiere, por término medio, 3 obreros/día.
II. La capacidad del taller permite reparar x máquinas por día. El número medio de máquinas pendientes de reparación que un día cualquiera hay en el taller viene determinado por 10/(x-10).
III. La jornada de trabajo es de 8 horas, con salario de 200u.m./h por obrero.
IV. El coste de inactividad de una máquina es de 1920u.m. por día.
Determine ese número óptimo de obreros.
2-Una empresa compra y vende anualmente 12000 litros de la bebida X. La política actual de compras consiste en adquirir una vez al mes 1000 litros de dicha bebida. El precio de coste de un litro de la bebida X es de 300 ptas, los gastos administrativos de realizar cada pedido son de 90000 ptas y el coste diario de mantenimiento en el almacén es de 1,5 ptas por cada litro.
Si se estima que el número de litros que, en promedio, hay en el almacén es la mitad de los litros que contiene un pedido, y que el año tiene 360 días, se pide:
a) Calcular el coste total que actualmente soporta la empresa cada año, entendiendo por tal el coste de la bebida, los costes anuales de realizar los pedidos y el coste anual de mantenimiento en el almacén.
b) Suponiendo que se mantienen las ventas, modificar la actual política de compras para que se minimice la función de costes totales anuales.
OPTIMIZACION 2
1) Con un alambre de 1 m queremos construir el borde de un rectángulo de área máxima. ¿Qué dimensiones hay que dar al rectángulo?
2) Calcular dos números reales cuya suma sea 24 y su producto sea el mayor posible. Razonar la respuesta.
3) Los beneficios de una empresa, en miles de euros, vienen determinados por B= - t (t-5). Siendo t los años pasados desde su fundación. Calcula en qué momento la empresa alcanzará sus mayores beneficios y la cuantía de éstos.
4) Se quiere construir un marco de madera de 8m² de superficie. Sabiendo que el trozo de marco horizontal vale 20€ el metro y el trozo vertical 40€ el metro, calcula las dimensiones que hace falta dar para que el coste sea mínimo. Calcula el precio del marco.
5) El propietario de un inmueble de 30 pisos los tiene todos alquilados a 500€ al mes. Por cada 50€ que aumenta el precio del alquiler pierde un alquilado. ¿Cuál es el precio del alquiler que produce más ganancias al propietario?
En general, la optimización es empleada para que una tarea se realice más rápidamente. Pero este no siempre es el caso; por ejemplo, en determinados casos lo más importante es que se consuma menos memoria, por lo tanto, se deben crear programas más lentos, pero que estén optimizados con respecto la memoria.
La optimización se hace siempre con respecto a uno o más recursos como ser: tiempo de ejecución, uso de memoria, espacio en disco, ancho de banda, consumo de energía, etc. Muchas veces la optimización de un recurso se hace a expensas de otros recursos.
EJEMPLOS
1-A una empresa que cuenta con un taller de reparación para la maquinaria que utiliza se le presenta el problema de determinar el número de obreros que constituye la plantilla óptima del taller.
Para ello, se estudian las condiciones de trabajo y el coste de mantenimiento, obteniéndose los siguientes datos:
I. La reparación de una máquina requiere, por término medio, 3 obreros/día.
II. La capacidad del taller permite reparar x máquinas por día. El número medio de máquinas pendientes de reparación que un día cualquiera hay en el taller viene determinado por 10/(x-10).
III. La jornada de trabajo es de 8 horas, con salario de 200u.m./h por obrero.
IV. El coste de inactividad de una máquina es de 1920u.m. por día.
Determine ese número óptimo de obreros.
2-Una empresa compra y vende anualmente 12000 litros de la bebida X. La política actual de compras consiste en adquirir una vez al mes 1000 litros de dicha bebida. El precio de coste de un litro de la bebida X es de 300 ptas, los gastos administrativos de realizar cada pedido son de 90000 ptas y el coste diario de mantenimiento en el almacén es de 1,5 ptas por cada litro.
Si se estima que el número de litros que, en promedio, hay en el almacén es la mitad de los litros que contiene un pedido, y que el año tiene 360 días, se pide:
a) Calcular el coste total que actualmente soporta la empresa cada año, entendiendo por tal el coste de la bebida, los costes anuales de realizar los pedidos y el coste anual de mantenimiento en el almacén.
b) Suponiendo que se mantienen las ventas, modificar la actual política de compras para que se minimice la función de costes totales anuales.
OPTIMIZACION 2
1) Con un alambre de 1 m queremos construir el borde de un rectángulo de área máxima. ¿Qué dimensiones hay que dar al rectángulo?
2) Calcular dos números reales cuya suma sea 24 y su producto sea el mayor posible. Razonar la respuesta.
3) Los beneficios de una empresa, en miles de euros, vienen determinados por B= - t (t-5). Siendo t los años pasados desde su fundación. Calcula en qué momento la empresa alcanzará sus mayores beneficios y la cuantía de éstos.
4) Se quiere construir un marco de madera de 8m² de superficie. Sabiendo que el trozo de marco horizontal vale 20€ el metro y el trozo vertical 40€ el metro, calcula las dimensiones que hace falta dar para que el coste sea mínimo. Calcula el precio del marco.
5) El propietario de un inmueble de 30 pisos los tiene todos alquilados a 500€ al mes. Por cada 50€ que aumenta el precio del alquiler pierde un alquilado. ¿Cuál es el precio del alquiler que produce más ganancias al propietario?
CRITERIOS DE LA PRIMERA Y SEGUNDA DERIVADA PRIMERA DERIVADA
PRIMERA DERIVADA
La base del presente criterio radica en observar que los máximos o mínimos locales son consecuencia de observar los siguientes hechos:
1.- Cuando la derivada es positiva la función crece.
2.- Cuando la derivada es negativa la función decrece.
3.- Cuando la derivada es cero la función tiene un máximo o un mínimo.
Sea f(x) una función y c un número en su dominio. Supongamos que existe a y b con a< c c en el intervalo.
Entonces f tiene un máximo local en c.
Nótese que un criterio similar puede tenerse para obtener un mínimo local, solo es necesario intercambiar “positivo” por “negativo”.
De manera intuitiva podemos observar que para determinar si existe un máximo o un mínimo basta graficar alrededor de los puntos donde se ha presentado un cambio de signo Es también importante tener en consideración que el termino alrededor del cambio de signo de la derivada de la función es muy relativo y es este punto donde tenemos que tener la máxima consideración.
Un punto más a considerar es el tener en cuenta que solo es necesario considerar no solo el cambio de signos para la derivada Por ejemplo, para el caso de la función:
la función entre el intervalo (-1,1) tiene un cambio de signo, sin embargo, la función no es diferenciable en el punto x = 0, pese a eso si existe un mínimo local
SEGUNDA DERIVADA:
Se deriva el primer componente por el segundo componente sin derivar más el primer componente sin derivar por la derivada del segundo componente por la derivada del exponente si fuese el caso.
Ejm:
Y= 20+e/3-2x exp3
Y=20+1/3e-2x exp3
Derivar
Y’ =0+1/3*e-2x exp3*(-6x2)
Y´=2x2*e-2x exp3
Se deriva nuevamente, esa es la segunda derivada:
Y´´= -4x*e-2x exp3+ (-2x2)* e-2x exp3*(-6x2)
y´´= -4xe-2x exp3+12x4e-2x exp3 Se puede factorizar.
PUNTOS CRITICOS: MAXIMOS, MINIMOS, INFLEXION
Mueve dos de las rectas perpendiculares (situadas en la derecha) hasta los puntos donde se anula la primera derivada. Comprueba que en estos puntos hay un máximo y un mínimo local.
•Si f´(x) > 0 la función es creciente. Observa que la función es creciente cuando el signo de f´(x) es positivo.
•Si f´(x) < 0 la función es decreciente. Observa que la función es decreciente cuando el signo de f´(x) es negativo.
•Si f´(x) = 0 puede haber máximos o mínimos. Decimos puede haber ya que la confirmación la obtenemos de la segunda derivada.
oMáximo local : curva creciente - decreciente.
oMínimo local: curva decreciente - creciente.
La base del presente criterio radica en observar que los máximos o mínimos locales son consecuencia de observar los siguientes hechos:
1.- Cuando la derivada es positiva la función crece.
2.- Cuando la derivada es negativa la función decrece.
3.- Cuando la derivada es cero la función tiene un máximo o un mínimo.
Sea f(x) una función y c un número en su dominio. Supongamos que existe a y b con a< c c en el intervalo.
Entonces f tiene un máximo local en c.
Nótese que un criterio similar puede tenerse para obtener un mínimo local, solo es necesario intercambiar “positivo” por “negativo”.
De manera intuitiva podemos observar que para determinar si existe un máximo o un mínimo basta graficar alrededor de los puntos donde se ha presentado un cambio de signo Es también importante tener en consideración que el termino alrededor del cambio de signo de la derivada de la función es muy relativo y es este punto donde tenemos que tener la máxima consideración.
Un punto más a considerar es el tener en cuenta que solo es necesario considerar no solo el cambio de signos para la derivada Por ejemplo, para el caso de la función:
la función entre el intervalo (-1,1) tiene un cambio de signo, sin embargo, la función no es diferenciable en el punto x = 0, pese a eso si existe un mínimo local
SEGUNDA DERIVADA:
Se deriva el primer componente por el segundo componente sin derivar más el primer componente sin derivar por la derivada del segundo componente por la derivada del exponente si fuese el caso.
Ejm:
Y= 20+e/3-2x exp3
Y=20+1/3e-2x exp3
Derivar
Y’ =0+1/3*e-2x exp3*(-6x2)
Y´=2x2*e-2x exp3
Se deriva nuevamente, esa es la segunda derivada:
Y´´= -4x*e-2x exp3+ (-2x2)* e-2x exp3*(-6x2)
y´´= -4xe-2x exp3+12x4e-2x exp3 Se puede factorizar.
PUNTOS CRITICOS: MAXIMOS, MINIMOS, INFLEXION
Mueve dos de las rectas perpendiculares (situadas en la derecha) hasta los puntos donde se anula la primera derivada. Comprueba que en estos puntos hay un máximo y un mínimo local.
•Si f´(x) > 0 la función es creciente. Observa que la función es creciente cuando el signo de f´(x) es positivo.
•Si f´(x) < 0 la función es decreciente. Observa que la función es decreciente cuando el signo de f´(x) es negativo.
•Si f´(x) = 0 puede haber máximos o mínimos. Decimos puede haber ya que la confirmación la obtenemos de la segunda derivada.
oMáximo local : curva creciente - decreciente.
oMínimo local: curva decreciente - creciente.
DERIVADAS
Sea una función constante f(x) = C.
Su gráfica es, como se sabe, una recta paralela al eje de abscisas. Puesto que para cualquier valor de la abscisa su ordenada correspondiente es, constantemente, igual a C, si a es un punto cualquiera del campo de definición de f(x), f(a + h) - f(a) = C - C = 0, por lo que
Luego la derivada de una constante es siempre cero.
La derivada de la función exponencial ea igual a la misma función por el logaritmo neperiano de la base y por la derivada del exponente.
Regla del producto: La derivada del producto de dos funciones es igual al producto de la primera función por la derivada de la segunda más la segunda función por la derivada de la primera. Esto es,
Ejemplos para discusión:
1) F(x) = (3x - 2x2)(5 + 4x)
2) G(x) = (1 + x-1)(x - 1)
Regla del cociente:
La derivada del cociente de dos funciones es igual al producto del denominador por la derivada del numerador menos el numerador por la derivada del denominador dividido todo por el cuadrado del denominador. Esto es,
donde g(x) es diferente de cero.
La derivada de la raíz enésima de una función es igual a la derivada del radicando partida por la n veces la raíz enésima de la función radicando elevada a n menos uno.
Si y = f(u) es una función derivable de u y u = g(x) es una función derivable de x, entonces y = f(g(x)) es una función derivable y :
Ejemplo:
Si y = 3u15 y u = 2x - 1, entonces la derivada es el producto de:
(15)(3u14)(2) = 90u14. Finalmente, al sustituir a u por 2x -2, tenemos que la derivada es 90(2x - 1)14.
Hasta el momento las ecuaciones han sido expresadas en forma explícitas. Esto es, la ecuación ha sido expresada respecto a una variable en términos de la otra. Por
ejemplo:
y = 2x - 3 es una ecuación expresada respecto de y en términos de x.
Pero existen ecuaciones que no están dadas explícitamente. Por ejemplo, las ecuaciones:
2x + y = 4
xy =1
x2 + y2 = 9
No están dadas en forma explícita. Tales ecuaciones están expresadas en forma implícita. Para derivar una ecuación implícita no es necesario expresarla en forma explícita. Se puede utilizar un método conocido por derivación implícita. Es un método que consiste en derivar cada término por separado en la ecuación dada.
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