CRITERIOS DE LA PRIMERA Y SEGUNDA DERIVADA PRIMERA DERIVADA

PRIMERA DERIVADA

La base del presente criterio radica en observar que los máximos o mínimos locales son consecuencia de observar los siguientes hechos:

1.- Cuando la derivada es positiva la función crece.
2.- Cuando la derivada es negativa la función decrece.
3.- Cuando la derivada es cero la función tiene un máximo o un mínimo.
Sea f(x) una función y c un número en su dominio. Supongamos que existe a y b con a< c c en el intervalo.

Entonces f tiene un máximo local en c.
Nótese que un criterio similar puede tenerse para obtener un mínimo local, solo es necesario intercambiar “positivo” por “negativo”.

De manera intuitiva podemos observar que para determinar si existe un máximo o un mínimo basta graficar alrededor de los puntos donde se ha presentado un cambio de signo Es también importante tener en consideración que el termino alrededor del cambio de signo de la derivada de la función es muy relativo y es este punto donde tenemos que tener la máxima consideración.
Un punto más a considerar es el tener en cuenta que solo es necesario considerar no solo el cambio de signos para la derivada Por ejemplo, para el caso de la función:

la función entre el intervalo (-1,1) tiene un cambio de signo, sin embargo, la función no es diferenciable en el punto x = 0, pese a eso si existe un mínimo local

SEGUNDA DERIVADA:

Se deriva el primer componente por el segundo componente sin derivar más el primer componente sin derivar por la derivada del segundo componente por la derivada del exponente si fuese el caso.

Ejm:

Y= 20+e/3-2x exp3
Y=20+1/3e-2x exp3

Derivar
Y’ =0+1/3*e-2x exp3*(-6x2)
Y´=2x2*e-2x exp3
Se deriva nuevamente, esa es la segunda derivada:
Y´´= -4x*e-2x exp3+ (-2x2)* e-2x exp3*(-6x2)
y´´= -4xe-2x exp3+12x4e-2x exp3 Se puede factorizar.

PUNTOS CRITICOS: MAXIMOS, MINIMOS, INFLEXION

Mueve dos de las rectas perpendiculares (situadas en la derecha) hasta los puntos donde se anula la primera derivada. Comprueba que en estos puntos hay un máximo y un mínimo local.
•Si f´(x) > 0 la función es creciente. Observa que la función es creciente cuando el signo de f´(x) es positivo.
•Si f´(x) < 0 la función es decreciente. Observa que la función es decreciente cuando el signo de f´(x) es negativo.
•Si f´(x) = 0 puede haber máximos o mínimos. Decimos puede haber ya que la confirmación la obtenemos de la segunda derivada.
oMáximo local : curva creciente - decreciente.
oMínimo local: curva decreciente - creciente.