DERIVADAS

DERIVADA DE UNA FUNCION CONSTANTE

Sea una función constante f(x) = C.
Su gráfica es, como se sabe, una recta paralela al eje de abscisas. Puesto que para cualquier valor de la abscisa su ordenada correspondiente es, constantemente, igual a C, si a es un punto cualquiera del campo de definición de f(x), f(a + h) - f(a) = C - C = 0, por lo que
Luego la derivada de una constante es siempre cero.

DERIVADA DE UNA FUNCION EXPONENCIAL:

La derivada de la función exponencial ea igual a la misma función por el logaritmo neperiano de la base y por la derivada del exponente.


DERIVACION PARA PRODUCTOS Y COCIENTES:

Regla del producto: La derivada del producto de dos funciones es igual al producto de la primera función por la derivada de la segunda más la segunda función por la derivada de la primera. Esto es,

Ejemplos para discusión:

1) F(x) = (3x - 2x2)(5 + 4x)
2) G(x) = (1 + x-1)(x - 1)

Regla del cociente:

La derivada del cociente de dos funciones es igual al producto del denominador por la derivada del numerador menos el numerador por la derivada del denominador dividido todo por el cuadrado del denominador. Esto es,
donde g(x) es diferente de cero.

DERIVADA DE UNA RAIZ:
La derivada de la raíz enésima de una función es igual a la derivada del radicando partida por la n veces la raíz enésima de la función radicando elevada a n menos uno.

DERIVACION EN CADENA:

Si y = f(u) es una función derivable de u y u = g(x) es una función derivable de x, entonces y = f(g(x)) es una función derivable y :

Ejemplo:

Si y = 3u15 y u = 2x - 1, entonces la derivada es el producto de:
(15)(3u14)(2) = 90u14. Finalmente, al sustituir a u por 2x -2, tenemos que la derivada es 90(2x - 1)14.

DERIVACION IMPLICITA:

Hasta el momento las ecuaciones han sido expresadas en forma explícitas. Esto es, la ecuación ha sido expresada respecto a una variable en términos de la otra. Por

ejemplo:
y = 2x - 3 es una ecuación expresada respecto de y en términos de x.
Pero existen ecuaciones que no están dadas explícitamente. Por ejemplo, las ecuaciones:
2x + y = 4
xy =1
x2 + y2 = 9

No están dadas en forma explícita. Tales ecuaciones están expresadas en forma implícita. Para derivar una ecuación implícita no es necesario expresarla en forma explícita. Se puede utilizar un método conocido por derivación implícita. Es un método que consiste en derivar cada término por separado en la ecuación dada.